1、第一，希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠(yuǎn)無法用最簡整數(shù)比（不可公度比）來表示，從而發(fā)現(xiàn)了第一個無理數(shù)，推翻了畢達(dá)哥拉斯的著名理論。

2、相傳當(dāng)時畢達(dá)哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發(fā)現(xiàn)而把希伯斯拋入大海。

3、第二，微積分的合理性遭到嚴(yán)重質(zhì)疑，險些要把整個微積分理論推翻。

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4、第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點(diǎn)的話來說，小明有一天說：“我正在撒謊！”問小明到底撒謊還是說實話。

5、羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數(shù)悖論或最大基數(shù)悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論！擴(kuò)展資料：第二次危機(jī)解決：經(jīng)過柯西（微積分收官人）用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發(fā)展和完善，從而使數(shù)學(xué)大廈變得更加輝煌美麗！第三次危機(jī)解決：排除悖論：危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。

6、人們希望能夠通過對康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。

7、“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來。

8、”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。

9、這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。

10、除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。

11、公理化集合系統(tǒng)：成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

12、但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。

13、它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。

14、而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。

15、如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。

16、參考資料：百度百科----數(shù)學(xué)三大危機(jī)。

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